Question

已知数列{a_n}中， an=n2+λn（λ是与n无关的实数常数），且满足a₁＜a₂＜a₃＜…＜a_n＜a_n+1＜…，则实数λ的取值范围是

λ＞-3

．

Answer 1

分析：由已知，数列{a_n}为单调递增数列，得出a_n+1-a_n＞0对于任意n∈N^*都成立，即有2n+1+λ＞0，采用分离参数法求实数λ的取值范围即可．

解答：解：∵a_n=n²+λn①，
∴a_n+1=（n+1）²+λ（n+1）②
②-①得a_n+1-a_n=2n+1+λ．
由已知，数列{a_n}为单调递增数列，
则a_n+1-a_n＞0对于任意n∈N^*都成立，即 2n+1+λ＞0．
移向得λ＞-（2n+1），λ只需大于-（2n+1）的最大值即可，
易知当n=1时，-（2n+1）的最大值 为-3，
所以λ＞-3．
故答案为：λ＞-3．

点评：本题考查数列的函数性质，考查了转化、计算能力，分离参数法的应用．