Question

【题目】选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 （α为参数），将曲线C1上所有点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标缩短为原来的 ，得到曲线C2 ， 在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为4ρsin（θ+ ）+ =0．
（1）求曲线C2的极坐标方程及直线l与曲线C2交点的极坐标；
（2）设点P为曲线C1上的任意一点，求点P到直线l的距离的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：曲线C1的参数方程为 （α为参数），

可得曲线C1的参数方程为 （α为参数），

利用同角三角函数的基本关系消去α，

可得x2+y2﹣x﹣ =0，极坐标方程为ρ2﹣ρcosθ﹣ =0

直线l的极坐标方程为4ρsin（θ+ ）+ =0，即4ρ（ sinθ+ cosθ）+ =0，

即2 x+2y+ =0．

联立方程可得交点坐标（﹣ ，0），（0，﹣ ），

极坐标为（ ，π），（ ， ）

（2）解：设P（1+2cosα， sinα），

则点P到直线l的距离d= （tanθ=2），

∴点P到直线l的距离的最大值为

【解析】（1）利用极坐标和直角坐标的互化公式把直线l的极坐标方程化为直角坐标方程．利用同角三角函数的基本关系消去α，把曲线的参数方程化为直角坐标方程，再求出交点的极坐标；（2）设点P（1+2cosα， sinα），求得点P到直线l的距离，由此求得d的最大值．