Question

【题目】由数字1，2，…，6构成的且含有1，6相邻的n位数有多少个?

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

设所求的n位数有个.

记个数中首位数字是1的有个.

在每一个中交换1和6的位置得个数中首位数字是6的也有个.

个数可分三类：

（1）个数中首位数字是1的n位数，这样的数有个.

（2）个数中首位数字是6的n位数，这样的数有个.

（3）个数中首位数字是2、3、4、5之一的n位数，这样的数的后位数，共有个.

故. ①

而个数中首位数字是1的n位数也可分三类：

（1）第二位是6的n位数，这些数的后n-2位上的数字可以是1，2，…，6中的任意一个，共有个；

（2）第二位仍是1的n位数，这些数从第二位起的后n-1位上的数字是由数字1，2，…，6构成的首位数字是1且含有1、6相邻的n-1位数，共有个；

（3）第二位是2、3、4、5之一的且含有1、6相邻的n位数，这些数的后n-2位是由数字1，2，…，6构成的且含有1、6相邻的数，共有个.

故. ②

由式①、②得

.

又，从而，

.

令.则

，

其中，.

故.

再令.于是，

.

则.

故.