Question

某同学参加3门课程的考试，假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为

4

5

．第二、第三门课程取得优秀成绩的概率均为

2

3

，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．
（1）求该生恰有1门课程取得优秀成绩的概率；
（2）求该生取得优秀成绩的课程门数X的期望．

Answer 1

分析：（1）由题意知不同课程是否取得优秀成绩相互独立．该生恰有1门课程取得优秀成绩，包括三种情况，这三种情况是互斥的，根据互斥事件的概率和相互独立事件同时发生的概率，得到结果．
（2）该生取得优秀成绩的课程门数X，由题意知X的可能取值是0，1，2，3，结合变量对应的事件和上一问解题的方法写出概率，写出分布列和期望．

解答：解：用A_i表示“该生第i门课程取得优秀成绩”，i=1，2，3
由题意得P（A₁）=

4

5

，P(A2)=P(A3)=

2

3

．
（1）该生恰有1门课程取得优秀成绩的概率为
P=P(A1

.

A2

.

A3

)+P(

.

A1

A2

.

A3

)+P(

.

A1

.

A2

A3)=

4

5

•

1

3

•

1

3

+

1

5

C

1 2

•

2

3

•

1

3

=

8

45

∴该生恰有1门课程取得优秀成绩的概率为

8

45

．
（2）由题意知X=0，1，2，3
则P(X=0)=

1

5

•

1

3

•

1

3

=

1

45

，P(X=1)=

8

45

P(X=2)=

4

5

C

1 2

•

2

3

•

1

3

+

1

5

(

2

3

)2=

20

45

，P(X=3)=

4

5

•

2

3

•

2

3

=

16

45

∴E(X)=0×

1

45

+1×

8

45

+2×

20

45

+3×

16

45

=

32

15

．
∴该生取得优秀成绩的课程门数的期望为

32

15

．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查相互独立事件同时发生的概率，是一个基础题，解题的格式是不变的，只要注意运算即可．