Question

【题目】某饮料生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2017年度进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，饮料的年销售量x万件与年促销费t万元间满足 .已知2017年生产饮料的设备折旧，维修等固定费用为3万元，每生产1万件饮料需再投入32万元的生产费用，若将每件饮料的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则该年生产的饮料正好能销售完．
（1）将2017年的利润y(万元)表示为促销费t(万元)的函数；
（2）该企业2017年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？
(注：利润＝销售收入－生产成本－促销费，生产成本＝固定费用＋生产费用)

Answer 1

【答案】
（1）解：当年销量为x万件时，成本为3＋32x(万元)．
饮料的售价为 ×150%＋ × (万元/万件)，
所以年利润y＝ x－(3＋32x＋t)(万元)，
把x＝ 代入整理得到y＝ ，其中t≥0.
（2）解：由(1)知y＝ ＝ ＝50－ ≤50－2 ＝42(万元)，
当且仅当 ＝ ，即t＝7时，ymax＝42.
所以该企业2017年的促销费投入7万元时，企业的年利润最大为42万元．
【解析】（1）确定饮料的售价，即可通过x表示出年利润y，化简代入整理即可求出y万元表示为促销费t万元的函数；
（2）根据已知代入（1）的函数，分别进行化简，利用关于t的方程必须有两正根建立关系式，可求出最值，即促销费投入多少万元时，企业的年利润最大．