Question

【题目】已知函数 ， ．
（1）求函数 的单调增区间；
（2）若 ，解不等式 ；
（3）若 ，且对任意 ，方程 在 总存在两不相等的实数根，求 的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ，
∴ f（x）=
∴ ： 的单调增区间为 ， ； ： 的单调增区间为 ， ； ： 的单调增区间为 ；
（2）解：∵ ，∴ 在 单调递增，在 单调递减，在 单调递增，
若 ：令 解得：
∴不等式的解为： ；若 ：令 ，
解得： ， ，根据图象不等式的解为： ，综上： ：不等式的解为 ； ：不等式的解为 ；
（3）解： ， ∵ ，∴ 在 单调递增，在 单调递减，在 单调递增，∴ ，
∴ 在 单调递增，∴ ，
在 单调递减，在 单调递增，∴必须 ，
即 ，即实数 的取值范围是 ．
【解析】（1）根据绝对值的应用，结合函数的单调性进行判断．
（2）根据一元二次不等式的解法进行求解即可．
（3）根据函数单调性的性质，结合函数与方程的关系进行求解即可. 判断函数的单调性，有四种方法：定义法；导数法；函数图象法；基本函数的单调性的应用；复合函数遵循“同增异减”；证明方法有定义法；导数法．
【考点精析】认真审题，首先需要了解利用导数研究函数的单调性(一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减)．