Question

(本题满分12分)
已知数列的前项和为，（）．
（Ⅰ）证明数列是等比数列，求出数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和；
（Ⅲ）数列中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，求出一组符合条件的项；若不存在，说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）见解析，．
（Ⅱ）．
（Ⅲ）不存在满足条件的三项．

本题主要考查了数列的递推式的应用，数列的通项公式和数列的求和问题．应熟练掌握一些常用的数列的求和方法如公式法，错位相减法，叠加法等．
（1）把S_n和S_n+1相减整理求得a_n+1=2a_n+3，整理出3+a_n+1=2（3+a_n），判断出数列{3+a_n}是首相为6，公比为2的等比数列，求得3+a_n，则a_n的表达式可得．
（2）把（I）中的a_n代入b_n，求得其通项公式，进而利用错位相减法求得数列的前n项的和．
（3）设存在满足题意，那么等式两边的奇数和偶数来分析不存在。
解析：（Ⅰ）因为，所以，
则，所以，，
所以数列是等比数列，
，，
所以．
（Ⅱ），
，
令，①
，②
①－②得，，
，
所以．
（Ⅲ）设存在，且，使得成等差数列，
则，
即，
即，，因为为偶数，为奇数，
所以不成立，故不存在满足条件的三项．