Question

2．已知动圆M与圆O₁：x²+y²+6x+5=0外切，同时与圆O₂：x²+y²-6x-91=0内切，曲线C为动圆圆心M的轨迹；则下列命题中：
（1）动圆圆心M的轨迹方程是$\frac{{x}^{2}}{36}$+$\frac{{y}^{2}}{27}$=1；
（2）若∠O₁MO₂=60°，则S${\;}_{△{O}_{1}M{O}_{2}}$=27$\sqrt{3}$；
（3）以坐标原点为圆心半径为6的圆与曲线C没有公共点；
（4）动点M（x，y），（y≠0）分别与两定点（-6，0），（6，0）连线的斜率之积为-$\frac{3}{4}$，
其中正确命题的序号是：（1）（4）．

Answer 1

分析 对于（1）求出两个圆的圆心与半径，设出动圆的圆心与半径，判断动圆的圆心轨迹，推出结果即可．
对于（2），利用余弦定理，求出r，再根据三角形的面积公式计算即可，
对于（3），根据b＜6，a=6，得到以坐标原点为圆心半径为6的圆与曲线C有两个公共点，
对于（4），根据斜率公式，代入计算即可．

解答 解：对于（1）圆O₁：x²+y²+6x+5=0，即（x+3）²+y²=4的圆心为（-3，0），半径为2；
圆O₂：x²+y²-6x-91=0，即（x-3）²+y²=4的圆心为（3，0），半径为10；
设动圆圆心为M（x，y），半径为r；
则|M0₁|=2+r，|MO₂|=10-r；
于是|M0₁|+|MO₂|=12＞|O₁O₂|=6
所以，动圆圆心M的轨迹是以O₁（-3，0），O₂（3，0）为焦点，长轴长为12的椭圆．
a=6，c=3，b²=a²-c²=27；
所以M的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{36}$+$\frac{{y}^{2}}{27}$=1．故（1）正确；
对于（2）∵|M0₁|=2+r，|MO₂|=10-r，|O₁O₂|=6，
由余弦定理得，|O₁O₂|²=|M0₁|²+|MO₂|²-2|M0₁|•|MO₂|cos60°，
∴36=（2+r）²+（10-r）²-2（2+r）（10-r）cos60°，
解得r=4，
∴|M0₁|=6，|MO₂|=6，
∴S${\;}_{△{O}_{1}M{O}_{2}}$=$\frac{1}{2}$|M0₁|•|MO₂|•sin60=9$\sqrt{3}$，故（2）不正确；
对于（3）∵M的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{36}$+$\frac{{y}^{2}}{27}$=1，b＜6，a=6，
∴以坐标原点为圆心半径为6的圆与曲线C有两个公共点，分别为（-6，0），（6，0），故（3）不正确；
对于（4）动点M（x，y），（y≠0）分别与两定点（-6，0），（6，0）连线的斜率之积，为$\frac{y}{x+6}$•$\frac{y}{x-6}$=$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}-36}$=$\frac{27（1-\frac{{x}^{2}}{36}）}{{x}^{2}-36}$=-$\frac{27}{36}$=-$\frac{3}{4}$，故（4）正确．
故答案是：（1）（4）

点评 本题主要圆和圆的位置关系，以及椭圆的定义和性质，余弦定理和正弦定理，属于中档题．