Question

14．在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C₁的极坐标方程为ρ=2，正三角形ABC的顶点都在C₁上，且A，B，C依逆时针次序排列，点A的坐标为（2，0）．
（1）求点B，C的直角坐标；
（2）设P是圆C₂：x²+（y+$\sqrt{3}$）²=1上的任意一点，求|PB²|+|PC|²的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出曲线C₁的直角坐标方程，由此能求出点B，C的直角坐标．
（2）由圆C₂的参数方程结合两点间距离公式，利用三角函数性质能求出|PB²|+|PC|²的取值范围．

解答 解：（1）∵曲线C₁的极坐标方程为ρ=2，∴曲线C₁的直角坐标方程为x²+y²=4，
∵正三角形ABC的顶点都在C₁上，且A，B，C依逆时针次序排列，点A的坐标为（2，0），
∴B点的坐标为（2cos120°，2sin120°），即B（-1，$\sqrt{3}$），
C点的坐标为（2cos240°，2sin240°），即C（-1，-$\sqrt{3}$）．
（2）∵圆C₂：x²+（y+$\sqrt{3}$）²=1，∴圆C₂的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=-\sqrt{3}+sinα}\end{array}\right.，0≤α＜2π$，
设点P（cosα，-$\sqrt{3}+sinα$），0≤α＜2π，
∴|PB²|+|PC|²=$（cosα+1）^{2}+（sinα-2\sqrt{3}）^{2}$+（cosα+1）²+sin²α
=16+4cosα-4$\sqrt{3}$sinα
=16+8cos（$α+\frac{π}{3}$），
∴|PB²|+|PC|²的范围是[8，24]．

点评 本题考查点的坐标的求法，考查代数和的取值范围的求法，是基础题，解题时要注意公式参数方程和普通方程的互化和两点间距离公式、三角函数性质的合理运用．