Question

以下两题任选一题：（若两题都做，按第一题评分）
（1）若圆C的参数方程为（θ为参数），则圆心的坐标为________，圆C与直线x+y-3=0的交点个数为________．
（2）设函数f（x）=|x-a|+3x其中a＞0，
（Ⅰ）当a=1时，不等式f（x）≥3x+2的解集为________；
（II）f（x）≤0的解集为{x|x≤-1}，则 a=________．

Answer 1

解：（1）∵圆C的参数方程为（θ为参数），利用同角三角函数的基本关系消去参数，
化为普通方程为 （x-1）²+y²=9，故圆心坐标为（1，0），半径等于3．
圆心到直线x+y-3=0的距离d==，小于半径，故直线和圆相交，
故答案为 （1，0）、2．
（2）（Ⅰ）当a=1时，不等式f（x）≥3x+2即|x-1|+3x≥3x+2，即|x-1|≥2，
∴x-1≥2，或 x-1≤-2．
解得 x≥3，或 x≤-1，故不等式的解集为{x|x≥3，或 x≤-1}，
故答案为 {x|x≥3，或 x≤-1}．
（Ⅱ）由f（x）≤0可得|x-a|+3x≤0，∴|x-a|≤-3x，∴3x≤x-a≤-3x．
解得 x＜-，故不等式f（x）≤0的解集为{x|x＜- }．
又已知f（x）≤0的解集为{x|x≤-1}，故有-=-1，a=2，
故答案为 2．
分析：（1）利用同角三角函数的基本关系消去参数，化为普通方程，求出圆心和半径，再利用点到直线的距离公式求得
圆心到直线的距离，和半径作对比，可得直线和圆的位置关系．
（2）（Ⅰ）当a=1时，不等式即|x-1|+3x≥3x+2，可化为|x-1|≥2，由此求得不等式的解集．
（Ⅱ）由f（x）≤0可得|x-a|+3x≤0，求得解集为{x|x＜- }．再由f（x）≤0的解集为{x|x≤-1}，
故有-=-1，由此求得a的值．
点评：本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，点到直线的距离公式的应用，绝对值不等式的解法，属于中档题．