Question

已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为，直线l：y＝kx＋m交椭圆于不同的两点A，B，

(1)求椭圆的方程，

(2)若坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值.

Answer 1

(1)设椭圆的半焦距为c，依题意，解得c＝.

由a²＝b²＋c²，得b＝1.

∴所求椭圆方程为＋y²＝1.

(2)由已知得＝，可得m²＝(k²＋1).

将y＝kx＋m代入椭圆方程，

整理得(1＋3k²)x²＋6kmx＋3m²－3＝0.

Δ＝(6km)²－4(1＋3k²)(3m²－3)>0(*)

∴x₁＋x₂＝，x₁·x₂＝.

∴|AB|²＝(1＋k²)(x₂－x₁)²＝(1＋k²)[－]

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＝3＋＝3＋≤3＋＝4(k≠0)，

当且仅当9k²＝，即k＝±时等号成立.

经检验，k＝±满足(*)式.

当k＝0时，|AB|＝.

综上可知|AB|_max＝2.

∴当|AB|最大时，△AOB的面积取最大值S_max＝×2×＝.