Question

已知函数的导函数为，的图象在点，处的切线方程为，且，直线是函数的图象的一条切线.

（1）求函数的解析式及的值；

（2）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围.

 

Answer 1

【答案】

(1) ,(2) .

【解析】

试题分析：(1) 先求,根据导数的几何意义，得：,,列方程，解得,解得,易知与相交于，又相切，所以函数在原点处的切线斜率为1,即,求出;(2)代入函数后，整理成的形式，所以即求在，的最小值，设,利用分析,结合定义域，求出最小值.较难题型.

试题解析：（1）解：， 1分

由题意，，①

，②

，③

由①②③解得，，，

所以. 4分

由题意，与相切可知，函数在原点处的切线斜率为1，

因为，所以. 6分

（2）解：问题等价于，

整理得=对于任意，恒成立，

只需求在，的最小值. 8分

设，则， 10分

又，，

所以必有一实根，且，，，

当，时，；当，时，，

，

所以在，的最小值为1， 13分

所以，

即实数的取值范围是，. 14分

考点：1.导数的几何意义；2.利用导数求函数最值；3构造函数.