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已知函数f(x)=
log
1
2
x  (x≥1)
(x-1)2 (x<1)
的反函数为f-1(x),在(-∞,1)∪(1,+∞)上的导函数为f′(x),则f-1(4)+f′(-1)=(  )
A、-6B、1C、-1D、-5
分析:分别求出函数的导数,以及根据反函数的性质即可得到结论.
解答:解:当x<1时,f(x)=(x-1)2,则f'(x)=2(x-1),
∴f'(-1)=2(-1-1)=-4,
∵函数f(x)的反函数为f-1(x),
∴等价为f(x)=4的解,
∵当x≥1时,f(x)≤0,此时方程f(x)=4无解,
当x<1时,由f(x)=4得:
(x-1)2=4,
解得x-1=-2,即x=-1,
∴f-1(4)=-1.
∴则f-1(4)+f′(-1)=-1-4=-5.
故选:D.
点评:本题主要考查分段函数的应用,根据导数和反函数的定义进行求值是解决本题的关键.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=2x-2+ae-x(a∈R)
(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴,求a的值;
(2)当a=1时,若直线l:y=kx-2与曲线y=f(x)在(-∞,0)上有公共点,求k的取值范围.

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已知函数f(x)=x2+2|lnx-1|.
(1)求函数y=f(x)的最小值;
(2)证明:对任意x∈[1,+∞),lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立;
(3)对于函数f(x)图象上的不同两点A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2),如果在函数f(x)图象上存在点M(x0,y0)(其中x0∈(x1,x2))使得点M处的切线l∥AB,则称直线AB存在“伴侣切线”.特别地,当x0=
x1+x2
2
时,又称直线AB存在“中值伴侣切线”.试问:当x≥e时,对于函数f(x)图象上不同两点A、B,直线AB是否存在“中值伴侣切线”?证明你的结论.

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已知函数f(x)=x2-bx的图象在点A(1,f(1))处的切线l与直线x+3y-1=0垂直,若数列{
1
f(n)
}的前n项和为Sn,则S2012的值为(  )

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已知函数f(x)=xlnx
(Ⅰ)求函数f(x)的极值点;
(Ⅱ)若直线l过点(0,-1),并且与曲线y=f(x)相切,求直线l的方程.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
,a≠0且a≠1.
(1)试就实数a的不同取值,写出该函数的单调增区间;
(2)已知当x>0时,函数在(0,
6
)上单调递减,在(
6
,+∞)上单调递增,求a的值并写出函数的解析式;
(3)记(2)中的函数图象为曲线C,试问是否存在经过原点的直线l,使得l为曲线C的对称轴?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.

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