Question

设a和b是两条异面直线．求证：

(1)过a和b分别存在平面α和β，使得α∥β；

(2)在条件(1)中α和β间的距离即是异面直线a和b间的距离．

Answer 1

答案：
解析：

证明：(1)在直线a上任取一点P，由于a和b是异面直线， ∴， 从而由P和b可以确定平面γ，可以在γ内过P作b′∥b， 由于a∩b′=P，可设a和b′确定的平面为α， ∴b∥α， 同理可在b上取一点Q，在由a与Q确定的平面内过Q作直线a′∥a，则a′∥α， 且a′∩b=Q，记由a′与b确定的平面为β，则由判定定理知α∥β，故证； (2)设AB是异面直线a和b的公垂线段，则AB⊥a，且AB⊥b， 由(1)知，a′∥a，∴AB⊥a′， 即AB与平面β内的两条相交直线a′和b都垂直， ∴AB⊥β， 同理可证AB⊥α，这说明AB也是两个平面α和β间的距离．