Question

某班共有学生40人，将一次数学考试成绩（单位：分）绘制成频率分布直方图，如图所示．
（Ⅰ）请根据图中所给数据，求出a的值；
（Ⅱ）从成绩在[50，70）内的学生中随机选3名学生，求这3名学生的成绩都在[60，70）内的概率；
（Ⅲ）为了了解学生本次考试的失分情况，从成绩在[50，70）内的学生中随机选取3人的成绩进行分析，用X表示所选学生成绩在[60，70）内的人数，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

【答案】分析：（I）根据频率分布直方图，结合频率之和为1，看出小矩形的高的值即得a的值．
（II）设“从成绩在[50，70）的学生中随机选3名，且他们的成绩都在[60，70）内”为事件A．先算出学生成绩在[50，60）内的和在[60，70）内的人数，根据成绩在[50，70）内的学生有11人，而且这些事件的可能性相同，根据概率公式计算，那么即可求得事件A的概率．
（III）根据题意看出变量X的可能取值，结合变量对应的事件和等可能事件的概率公式，写出变量的概率．列出分布列和期望值．
解答：解：（Ⅰ）根据频率分布直方图中的数据，可得，
所以 a=0.03．                                             …（2分）
（Ⅱ）学生成绩在[50，60）内的共有40×0.05=2人，在[60，70）内的共有40×0.225=9人，
成绩在[50，70）内的学生共有11人．                            …（4分）
设“从成绩在[50，70）的学生中随机选3名，且他们的成绩都在[60，70）内”为事件A，
…（5分）
则．                                         …（7分）
所以选取的3名学生成绩都在[60，70）内的概率为．
（Ⅲ）依题意，X的可能取值是1，2，3．                            …（8分）；        
；
．                                    …（10分）
所以X的分布列为

ξ	1	2	3
P

…（11分）
．                           …（13分）
点评：此题考查了对频率分布直方图的掌握情况，考查的是概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和期望，本题解题的关键是利用等可能事件的概率公式做出变量对应的概率值．