Question

若F₁、F₂分别为双曲线-=1的下、上焦点，O为坐标原点，点P在双曲线的下支上，点M在上准线上，且满足=，=λ(+)(λ＞0).

(1)求此双曲线的离心率；

(2)若此双曲线过N(,2)，求此双曲线的方程；

(3)若过N(,2)的双曲线的虚轴端点分别为B₁、B₂(B₂在x轴正半轴上)，点A、B在双曲线上，且=μ，求⊥时直线AB的方程.

Answer 1

解：(1) ==,∴PF₁OM为平行四边形.

    又=λ(+)知M在∠PF₁O的角平分线上，

    ∴四边形PF₁OM为菱形，且边长为||=||=c.

    ∴||=2a+||=2a+c.

    由第二定义知=e,即=e.

    ∴+1=e且e＞1e=2.

    (2)由e=2，∴c=2a,即b²=3a².

    双曲线方程为-=1.

    又(3,2)在双曲线上，∴-=1.

    ∴a²=3.∴双曲线方程为-=1.

    (3)由=μ知AB过点B₂，若AB⊥x轴，即l_AB:x=3，此时AB₁与BB₁不垂直.

    设直线AB的方程为y=kx-3k,代入-=1,得(3k²-1)x²-18k²x+27k²-9=0.

    由题知3k²-1≠0且Δ＞0，即k²＞且k²≠.

    设交点A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),=(x₁+3,y₁),=(x₂+3,y₂).

    ∵⊥,∴·=0,即x₁x₂+3(x₁+x₂)+9+y₁y₂=0.

    此时

    y₁·y₂=k²(x₁-3)(x₂-3)

    =k²［x₁x₂-3(x₁+x₂)+9］

    =k²(18-)=.

    ∴9+3+9+=0.

    ∴5k²=1.∴k=±.

    ∴直线AB的方程为y=x-或y=-x+.