Question

已知双曲线C：-=1（0＜＜1）的右焦点为B，过点B作直线交双曲线C的右支于M、N两点，试确定的范围，使·=0，其中点O为坐标原点.

Answer 1

≤＜.           

解析:

设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由已知易求B（1，0），

①当MN垂直于x轴时，MN的方程为x=1，

设M（1，y₀），N（1，-y₀）（y₀＞0），

由·=0，得y₀=1，

∴M（1，1），N（1，-1）.

又M（1，1），N（1，-1）在双曲线上，

∴-=1²+-1=0=，                                                       4分

因为0＜＜1,所以=.                                                                           5分

②当MN不垂直于x轴时，设MN的方程为y=k(x-1).

由,

得［-(1-)k²］x²+2(1-)k²x-(1-)(k²+)=0,                                                       8分

由题意知：-(1-)k²≠0,

所以x₁+x₂=,

x₁x₂=,

于是y₁y₂=k²(x₁-1)(x₂-1)=,                                                               10分

因为·=0,且M、N在双曲线右支上，

所以

?＜＜.                                                            13分

由①②，知≤＜.                                                                       14分