Question

（2012•东城区二模）已知函数f(x)=

|x|-sinx+1

|x|+1

（x∈R）的最大值为M，最小值为m，则M+m=

2

．

Answer 1

分析：先把函数f(x)=

|x|-sinx+1

|x|+1

变形为f(x)=1+

-sinx

|x|+1

，令g(x)=

-sinx

|x|+1

，，可判断函数g（x）的奇偶性，据此找到
g（x）的最大值与最小值之间的关系，在有f（x）=1+g（x），求出f（x）的最大值与最小值之和．

解答：解：函数f(x)=

|x|-sinx+1

|x|+1

可变形为f(x)=1+

-sinx

|x|+1

令g(x)=

-sinx

|x|+1

，，则g(-x)=

sinx

|x|+1

=-g（x），
∴g（x）为奇函数．
设当x=a时g（x）有最大值g（a），则当x=-a时，g（x）有最小值g（-a）=-g（a）
∵f（x）=1+g（x），
∴当x=a时f（x）有最大值g（a）+1，则当x=-a时，g（x）有最小值-g（a）+1
即M=g（a）+1，m=-g（a）+1，
∴M+m=2
故答案为2

点评：本题主要考查利用函数的奇偶性求函数的最大值与最小值，因为f（x）不具有奇偶性，可以通过变形，使f（x）变为一个奇函数加上一个常数的形式．