Question

设函数f（x）=ax³+bx+c（a≠0）为奇函数，其图象在点（1，f（1））处的切线与直线x+6y-7=0垂直，且在x²=2处取得极值．
（Ⅰ）求a，b，c的值；
（Ⅱ）求函数f（x）在[-1，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）先根据奇函数求出c的值，再根据函数在x²=2处取得极值及图象在点（1，f（1））处的切线与直线x+6y-7=0垂直，求得a，b；
（Ⅱ）先求导数f′（x），在函数的定义域内解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0，求得区间即为单调区间，根据极值与最值的求解方法，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值．

解答： 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=ax³+bx+c（a≠0）为奇函数，
∴c=0，
∵f（x）=ax³+bx+c（a≠0），在x²=2处取得极值．
∵f′（x）=3ax²+b
∴6a+b=0，①
又直线x-6y-7=0的斜率为-

1

6

，
因此，f′（1）=3a+b=6，②
∴由①②解得a=-2，b=12，
∴a=-2，b=12，c=0．
（Ⅱ）f（x）=-2x³+12x．f′（x）=-6x²+12=-6（x-

2

）（x+

2

），列表如下：

x	（-∞，- 2 ）	- 2	（- 2 ， 2 ）	2	（ 2 ，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	极小值	↗	极大值	↘

所以函数f（x）的单调增区间是（-

2

，

2

），单调递减区间是（-∞，-

2

）和（

2

，+∞），
∵f（-1）=-10，f（

2

）=8

2

，f（3）=-18，
∴f（x）在[-1，3]上的最大值是f（

2

）=8

2

，最小值是f（3）=-18．

点评：本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识，以及推理能力和运算能力．