Question

给出下列四个命题：
①已知f(x)+2f(

1

x

)=3x，则函数g（x）=f（2^x）在（0，1）上有唯一零点；
②对于函数f(x)=x

1

2

的定义域中任意的x₁、x₂（x₁≠x₂）必有f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)+f(x2)

2

；
③已知f（x）=|2^-x+1-1|，a＜b，f（a）＜f（b），则必有0＜f（b）＜1；
④已知f（x）、g（x）是定义在R上的两个函数，对任意x、y∈R满足关系式f（x+y）+f（x-y）=2f（x）•g（y），且f（0）=0，但x≠0时f（x）•g（x）≠0．则函数f（x）、g（x）都是奇函数．
其中正确命题的序号是

①③

．

Answer 1

分析：①通过方程组求得f（x），从而求得g（x），由g（x）=0即可判断其正误；
②可借助图形判断其正误；
③可利用f（x）=|2^-x+1-1|在（a，b）上单调递增，判断③；
④分别判断f（x），g（x）的奇偶性，即可判断④的正误．

解答：解：∵f（x）+2f（

1

x

）=3x①，
∴2f（x）+f（

1

x

）=

3

x

②，
②×2-①得：f（x）=

2

x

-x，
∴g（x）=f（2^x）=

2

2x

-2^x=

2-22x

2x

，由g（x）=0解得x=

1

2

，
∴函数g（x）=f（2^x）在（0，1）上有唯一零点；①正确；
②对于函数f(x)=x

1

2

的定义域中任意的x₁、x₂（x₁≠x₂）必有f(

x1+x2

2

)＞

f(x1)+f(x2)

2

，故②错误；
对于③f（x）=|2^-x+1-1|，
∵a＜b，f（a）＜f（b），
∴f（x）=|2^-x+1-1|在（a，b）上单调递增，
∴f（x）=1-2^-x+1（2^-x+1-1＜0即x＞1），
∴b＞1，
∴0＜f（b）=|2^-b+1-1|=1-2^-b+1＜1，故③正确；
对于④，令x=0，有f（-y）+f（y）=0，f（-y）=-f（y）函数f（x）是奇函数，
∵x≠0时，f（x）•g（x）≠0，
∴g（-y）=

f(x+y)+f(x-y)

2f(x)

=g（y），
∴函数g（x）是偶函数，
∵④错误．
综上所述，①③正确．
故答案为：①③．

点评：考查抽象函数及其应用，解决抽象函数的问题一般应用赋值法，难点在于综合考察函数的单调性，奇偶性，零点与最值，考察点跨度大，难度大，属于难题．