Question

复平面上两点A、B分别对应复数-3和z，其中|z|=1，线段AB靠近A点的三等分点为P.

(1)求P点的轨迹方程；

(2)若向量对应复数为z′,求z′所对应的点的轨迹方程.

Answer 1

思路分析：借助定比分点坐标公式，找出点P与A、B间的关系，然后将B点坐标用点P坐标表示，代入方程|z|=1中.

解：(1)设P(x,y)、B(x′,y′).

∵|z|=1,∴x′²+y′²=1,

知点P分的比λ=2.

由

则(3x+6)²+(3y)²=1,∴点P的轨迹方程为(x+2)²+y²=.

(2)设B(x′,y′),则x′²+y′²=1,

则的对应复数为x′+y′i.

由+=，知=-,

∴向量对应复数为

x′+y′i-(-3)=x′+y′i=3.

由=3，

则对应复数为z′=i.

设z′的对应点为M(x,y)，

则

∴(3x-3)²+(3y)²=1.

∴z′对应点的轨迹方程为(x-1)²+y²=.