Question

(理)设函数f(x)=e^x-e^-x.

(1)证明f(x)的导数f′(x)≥2;

(2)若对所有x≥0都有f(x)≥ax,求a的取值范围.

(文)设函数f(x)=2x³+3ax²+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值.

(1)求a、b的值;

(2)若对任意的x∈［0,3］,都有f(x)＜c²成立,求c的取值范围.

Answer 1

解：(理)(1)f(x)的导数f′(x)=e^x+e^-x.由于e^x+e^-x≥=2,

故f′(x)≥2.(当且仅当x=0时,等号成立)

(2)令g(x)=f(x)-ax,则g′(x)=f′(x)-a=e^x+e^-x-a.

①若a≤2,当x＞0时,g′(x)=e^x+e^-x-a＞2-a≥0,故g(x)在(0,+∞)上为增函数.所以,x≥0时,g(x)≥g(0),即f(x)≥ax.

②若a＞2,方程g′(x)=0的正根为x₁=ln,此时,若x∈(0,x₁),则g′(x)＜0,故g(x)在该区间为减函数.所以,x∈(0,x₁)时,g(x)＜g(0)=0,即f(x)＜ax,与题设f(x)≥ax相矛盾.综上,满足条件的a的取值范围是(-∞,2].

(文)(1)f′(x)=6x²+6ax+3b.因为函数f(x)在x=1及x=2取得极值,则有f′(1)=0,f′(2)=0.

即解得a=-3,b=4.

(2)由(1)可知,f(x)=2x³-9x²+12x+8c,f′(x)=6x²-18x+12=6(x-1)(x-2).当x∈(0,1)时,f′(x)＞0;当x∈(1,2)时,f′(x)＜0;当x∈(2,3)时,f′(x)＞0.所以,当x=1时,f(x)取得极大值f(1)=5+8c.又f(0)=8c,f(3)=9+8c，则当x∈[0,3]时,f(x)的最大值为f(3)=9+8c.因为对于任意的x∈[0,3],有f(x)＜c²恒成立,所以9+8c＜c².解得c＜-1或c＞9,因此c的取值范围为(-∞,-1)∪(9,+∞).