Question

（2011•奉贤区二模）（理）设函数f(x)=ax+

4

x

(x＞0)，a∈R+．
（1）当a=2时，用函数单调性定义求f（x）的单调递减区间
（2）若连续掷两次骰子（骰子六个面上分别标以数字1，2，3，4，5，6）得到的点数分别作为a和b，求f（x）＞b²恒成立的概率．

Answer 1

分析：（1）利用函数单调性定义求单调区间，可先判断其单调性，再用定义证明，证明时需经过设、差、变、判、结五步解决；
（2）先由f（x）＞b²恒成立，可知f（x）的最小值大于b²，可得a、b间的不等关系，再利用古典概型公式，用列举法得目标事件在基本事件总数中的比例即可

解答：解：（1）f(x)=2x+

4

x

根据耐克函数的性质，f(x)=2x+

4

x

的单调递减区间是(0，

2

]，证明如下：
设任意0＜x1＜x2≤

2

，
则f(x1)-f(x2)=2x1+

4

x1

-2x2-

4

x2

=2(x1-x2)+

4(x2-x1)

x1x2

=2(x1-x2)(1-

2

x1x2

)
∵0＜x1＜x2≤

2

∴x1-x2＜0，0＜x1x2＜2，1-

2

x1x2

＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0
所以f(x)=2x+

4

x

的单调递减区间是(0，

2

]
（2）∵f(x)min≥4

a

∴16a＞b⁴     
基本事件总数为6×6=36，
当a=1时，b=1；
当a=2，3，4，5时，b=1，2，共2×4=8种情况；
当a=6时，b=1，2，3；
目标事件个数为1+8+3=12．因此所求概率为

1

3

．

点评：本题综合考查了函数单调性的定义及证明方法，函数、不等式与概率的综合，解题时要认真体会函数问题是怎样与计数概率联系起来的