Question

（本小题满分14分）如图，一简单几何体有五个顶点、、、、，它的一个面内接于⊙，是⊙的直径，四边形为平行四边形，平面．
（1）证明：平面平面；
（2）若，，，求该简单几何体的体积．

Answer 1

（1）见解析；（2）1.

第一问要证明面面垂直，关键是证明线面垂直，借助于面面垂直的判定定理得到结论即可即证平面 
第二问中，将该几何体的体积分解为两个三棱锥的体积即可。注意合理分解为两个特殊几何体的体积是解决该试题的关键。
解: (1)证明:平面,平面,
.                      ………1分
是⊙的直径,,   ………2分
又                   ………3分
平面,                 ………4分

平面                 ………5分
又平面                 ………6分
平面平面.                                ………7分
(2)设所求简单几何体的体积为,
平面
平面
平面
                                  
在中
 
                      ………8分
方法一: 连,由(1),(2)知是三棱锥的高,是三棱锥的高
                                      ………9分
             ………11分
                ………13分
该简单组合体的体积.                             ………14分
方法二:
平面,平面,
.                      
又由(1)知,   
又                   
平面,
 是四棱锥的高,且由(1),(2)证明易知四边形为边长为的正方形.                                              ………10分
                                  ………11分
                                  ………12分
                              ………13分

                                             ………14分