Question

如图，三角形ABC中，AC＝BC＝，ABED是边长为a的正方形，平面ABED⊥底面ABC，且，若G、F分别是EC、BD的中点，

(Ⅰ)求证：GF//底面ABC；

(Ⅱ)求证：平面EBC⊥平面ACD；

(Ⅲ)求几何体ADEBC的体积V．

Answer 1

答案：
解析：

解(Ⅰ)证法一：取BE的中点H，连结HF、GH，(如图1) 　　∵G、F分别是EC和BD的中点 　　∴HG∥BC，HF∥DE，　2分 　　又∵ADEB为正方形；∴DE//AB，从而HF//AB 　　∴HF//平面ABC，HG//平面ABC 　　∴平面HGF//平面ABC 　　∴GF∥平面ABC　5分 　　证法二：取BC的中点M，AB的中点N连结GM、FN、MN(如图2) 　　∵G、F分别是EC和BD的中点 　　∴　2分 　　又∵ADEB为正方形；∴BE//AD，BE＝AD 　　∴GM//NF且GM＝NF 　　∴MNFG为平行四边形 　　∴GF∥MN，又， 　　∴GF//平面ABC　5分 　　(Ⅱ)∵ADEB为正方形，∴EB⊥AB 　　又∵平面ABED⊥平面ABC，∴BE⊥平面ABC　7分 　　∴BE⊥AC；又∵CA2＋CB2＝AB2 　　∴AC⊥BC；∴AC⊥平面BCE 　　从而平面EBC⊥平面ACD　9分 　　(Ⅲ)连结CN，因为AC＝BC，所以CN⊥AB，且 　　又平面ABED⊥平面ABC， 　　所以CN⊥平面ABED． 　　∵C－ABED是四棱锥 　　∴VC－ABED＝　14分(用向量法一样给分)