Question

18．已知曲线C的极坐标方程是ρ-2cosθ-4sinθ=0，以极点为在平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系xoy，直线的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\\ y=1+\frac{1}{2}t\end{array}\right.$（t为参数）．
（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，将直线l的参数方程化为普通方程；
（2）若直线l与曲线C相交于A，B两点，与y轴交于点M，求（|MA|+|MB|）²的值．

Answer 1

分析 （1）按要求将极坐标方程即参数方程化为普通方程；
（2）利用直线的参数方程代入曲线的普通方程，利用韦达定理求线段的长度．

解答 解：（1）曲线C的极坐标方程是ρ-2cosθ-4sinθ=0，化为直角坐标方程为
x²+y²-2x-4y=0，直线l的普通方程为x-$\sqrt{3}$y+$\sqrt{3}$=0．                         …（5分）
（2）将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得t²-（$\sqrt{3}$+1）t-3=0，
点M对应的参数t=0，设点A、B对应的参数分别为t₁，t₂，
则${t}_{1}+{t}_{2}=\sqrt{3}+1$，t₁•t₂=-3，
所以|MA|+|MB|=|t₁|+|t₂|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{16+2\sqrt{3}}$
所以（|MA|+|MB|）²=16+2$\sqrt{3}$．                                                    …（10分）

点评 本题考查了曲线的极坐标方程、直线的参数方程化为普通方程以及直线与曲线相交；属于中档题．