(文)已知:函数f(x)= (a>1)
(1) 证明:函数f(x)在(-1,+∞ )上为增函数;
(2)证明方程f(x)=0没有负根.
见解析。
【解析】(I)利用函数的单调性证明即可:第一步:取值,第二步作差比较,判断差值的符号,第三步得到结论.
(2)本小题不易直接证明可采用反证法,先假设方程有负根x0 (x0≠-1),则有= -1,然后研究-1的值总是负值,所以得到矛盾,问题得证.
(文)证明:(1) 设-1<x1<x2<+∞
f(x1)-f(x2) =- + -
=-+ (4)
∵ -1<x1<x2 ,a>0
∴ -<0 <0
∴ f(x1)-f(x2)<0 即 f(x1)<f(x2) ,函数f(x)在(-1,+∞ )上为增函数. (6)
(2) 若方程有负根x0 (x0≠-1),则有= -1
若 x0<-1 , -1<-1 而 >0 故 ≠ -1 (10)
若 -1<x0<0 , -1>2 而 <a0=1 ≠ -1
综上所述,方程f(x)=0没有负根. (12)
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