Question

（文）已知函数f（x）=ax³-bx²+9x+2，若f（x）在x=1处的切线方程是3x+y-6=0．
（1）求f（x）的解析式及单调区间；
（2）若对于任意的x∈[

1

4

，2]，都有f（x）≥t²-2t-1成立，求函数g（t）=t²+t-2的最小值及最大值．

Answer 1

分析：（1）易求切点坐标（1，3），由题意可得f（1）=3，f′（1）=-3，从而可得关于a，b的方程组，解出可得f（x）解析式，然后解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0可得函数的单调区间；
（2）对于任意的x∈[

1

4

，2]，都有f（x）≥t²-2t-1成立，等价于f(x)min≥t2-2t-1，从而可求t的范围，在该范围内，利用二次函数的性质可求g（t）的最大值、最小值；

解答：解：（1）切点坐标为（1，3），
f′（x）=3ax²-2bx+9，
由题意可得

f(1)=a-b+9+2=3 f′(1)=3a-2b+9=-3

，即

a-b+8=0 3a-2b+12=0

，
解得a=4，b=12，
所以f（x）=4x³-12x²+9x+2，
f′（x）=12x²-24x+9，
令f′（x）＞0，得x＜

1

2

或x＞

3

2

，令f′（x）＜0，得

1

2

＜x＜

3

2

，
所以f（x）的增区间为（-∞，

1

2

）和（

3

2

，+∞），减区间为（

1

2

，

3

2

）；
（2）由（1）知，f（x）在[

1

4

，

1

2

]上递增，在[

1

2

，

3

2

]上递减，在[

3

2

，2]递增，
且f（

1

4

）=

57

16

，f（

3

2

）=2，f（

1

4

）＞f（

3

2

），
所以f（x）在[

1

4

，2]上的最小值为2，
由f（x）≥t²-2t-1在[

1

4

，2]上恒成立，得2≥t²-2t-1，即）t²-2t-3≤0，解得-1≤t≤3，
g（t）=t²+t-2=(t+

1

2

)2-

9

4

，
当t=-

1

2

时，g(t)min=-

9

4

，当t=3时，g（t）_max=10．

点评：本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、最值，考查转化思想，考查学生解决问题的能力．