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(文)已知函数f(x)=x3-x.
(I)求曲线y=f(x)在点M(t,f(t))处的切线方程;
(II)设常数a>0,如果过点P(a,m)可作曲线y=f(x)的三条切线,求m的取值范围.
分析:(I)求出f′(x),根据切点为M(t,f(t)),得到切线的斜率为f'(t),所以根据斜率和M点坐标写出切线方程即可;
(II)因切线过点(a,m),则存在t使m=(3t2-1)a-2t3,于是过点(a,m)可作曲线y=f(x)的三条切线即为方程m=-2t3+3at2-a(a>0)有三个相异的实数根.记g(t)=-2t3+3at2-a,求出其导函数=0时t的值,利用t的值分区间讨论导函数的正负得到g(t)的单调区间,利用g(t)的增减性得到g(t)的极值,结合图象,求出m的取值范围.
解答:解:(Ⅰ)∵函数f(x)=x3-x,
∴f'(x)=3x2-1.
切线方程为y-f(t)=f'(t)(x-t),
即y=(3t2-1)x-2t3
(Ⅱ) 已知?关于t的方程m=(3t2-1)a-2t3
即m=-2t3+3at2-a(a>0)有三个不等实根.
令g(t)=-2t3+3at2-a,则g'(t)=-6t(t-a).
可知g(t)在(-∞,0)递减,
在(0,a)递增,在(a,+∞)递减,
g(t)的极小值为:g(0)=-a,极大值为g(a)=a3-a.
结合图象知m∈(-a,a3-a).
点评:考查学生会利用导数研究曲线上某点的切线方程,会利用导数研究函数的增减性得到函数的极值,考查了数形结合的思想.
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14
,2]
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1
3
x3lnx-
1
9
x3-(2a+b)x
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π
2
π
2
)
,且公差d≠0.若f(a1)+f(a2)+…+f(a27)=0,则当k值为
13
13
时有f(ak)=0.

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