Question

（文）已知函数f（x）=2sinx+3tanx．项数为27的等差数列{a_n}满足an∈(-

π

2

，

π

2

)，且公差d≠0．若f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₂₇）=0，则当k值为

13

时有f（a_k）=0．

Answer 1

分析：利用和差化积和等差数列的性质可得sina₁₃=0，进而可得f（a₁₃）=0．

解答：解：∵f（a₁）+f（a₂₇）=2sina₁+3tana₁+2sina₂₇+3tana₂₇
=2（sina₁+sina₂₇）+3(

sina1

cosa1

+

sina27

cosa27

)
=4sin

a1+a27

2

cos

a27-a1

2

+3•

sin(a1+a27)

cosa1cosa27

=4sina13cos13d+

6sina13cosa13

cosa1cosa27

=sina13(4cos13d+

6cosa13

cosa1cosa27

)，
同理f（a₂）+f（a₂₆）=sina13(4cos12d+

6cosa13

cosa2cosa26

)，
…，
f（a₁₃）=2sina₁₃+3tana₁₃=sina13(2+

3

cosa13

)，
∵f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₂₇）=0，∴sina₁₃=0．
∴f（a₁₃）=0，
∴当k值为 13时有f（a₁₃）=0．
故答案为0

点评：本题考查了和差化积和等差数列的性质，属于难题．