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(文)已知函数f(x)=x2lnx.
(I)求函数f(x)的单调区间;
(II)若b∈[-2,2]时,函数h(x)=
1
3
x3lnx-
1
9
x3-(2a+b)x
,在(1,2)上为单调递减函数.求实数a的范围.
分析:(I)确定函数f(x)的定义域,求导函数,利用f′(x)<0,x>0,确定函数单调递减区间;利用f′(x)>0,x>0,可得函数单调递增区间;
(2)求导函数,问题转化为x∈(1,2)时,h′(x)≤0恒成立,利用函数f(x)=x2lnx在(1,2)上单调递增,及b∈[-2,2],即可求得实数a的范围.
解答:解:(I)函数f(x)的定义域为(0,+∞)----1分
求导函数,可得f′(x)=2xlnx+x.
令f′(x)=0,解得:x=e-
1
2
----4分
令f′(x)<0,x>0,可得0<x<e-
1
2
;令f′(x)>0,x>0,可得x>e-
1
2

∴函数单调递减区间为(0,e-
1
2
)
;函数单调递增区间为(e-
1
2
,+∞)
.----6分
(2)求导函数,可得h′(x)=x2lnx-(2a+b)
由题意可知,x∈(1,2)时,h′(x)≤0恒成立.----9分
即2a+b≥x2lnx
由(1)可知,函数f(x)=x2lnx在(1,2)上单调递增,∴2a+b≥f(2)=4ln2----11分
由b∈[-2,2],可得2a≥4ln2+2
∴a≥2ln2+1----13分.
点评:本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性,考查恒成立问题,考查函数的最值,属于中档题.
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14
,2]
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π
2
π
2
)
,且公差d≠0.若f(a1)+f(a2)+…+f(a27)=0,则当k值为
13
13
时有f(ak)=0.

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