Question

多面体ABCDE中，AB=BC=AC=AE=1，CD=2，AE⊥面ABC，AE∥CD．
（1）在BC上找一点N，使得AN∥面BED
（2）求证：面BED⊥面BCD．

Answer 1

分析：（1）分别取BC、BD中点为N、M，连接MN、AN、EM．可证出四边形AEMN为平行四边形，得AN∥EM，结合线面平行的判定定理，可得AN∥面BED；
（2）利用空间线线平行的性质，结合线面垂直的判定与性质可证出EM⊥CD且EM⊥BC，可得EM⊥面BCD，最后根据面面垂直的判定定理，证出面BED⊥面BCD．

解答：解：（1）分别取BC、BD中点为N、M，连接MN、AN、EM
∵MN是△ABC的中位线，∴MN∥CD且MN=

1

2

CD       …（2分）
又∵AE∥CD且AE=

1

2

CD，
∴MN、AE平行且相等．
∴四边形AEMN为平行四边形，得AN∥EM …（4分）
∵AN?面BED，EM?面BED，∴AN∥面BED…（6分）
（2）∵AE⊥面ABC，AN?面ABC，∴AE⊥AN  
又∵AE∥CD，AN∥EM，∴EM⊥CD…（8分）
∵N为BC中点，AB=AC，∴AN⊥BC
∴结合AN∥EM得EM⊥BC…（10分）
∵BC、CD是平面BCD内的相交直线，∴EM⊥面BCD…（12分）
∵EM?面BED，
∴面BED⊥面BCD  …（14分）

点评：本题给出特殊的四面体，求证线面平行并且面面垂直，着重考查了空间线面平行、线面垂直和面面垂直的判定与性质等知识，属于中档题．