Question

12．函数$f（x）=\frac{x+1}{e^x}$，$g（x）=\frac{alnx}{x}$，（a＞0）．若对任意实数x₁，都存在正数x₂，使得g（x₂）=f（x₁）成立，则实数a的取值范围是[e，+∞）．

Answer 1

分析 求出函数f（x）的值域和g（x）的值域，根据对任意实数x₁，都存在正数x₂，使得g（x₂）=f（x₁）成立，得出f（x）_max≤g（x）_max，从而求出实数a的取值范围．

解答 解：函数$f（x）=\frac{x+1}{e^x}$，
∴f′（x）=-$\frac{x}{{e}^{x}}$，
∴x＞0时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
∴f（x）的极大值也是最大值为f（0）=$\frac{1}{{e}^{0}}$=1；
且f（x）≤1；
又$g（x）=\frac{alnx}{x}$，（a＞0），
∴g′（x）=a•$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
令g′（x）=0，得1=lnx，即x=e；
∴0＜x＜e是，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
x＞e是，g′（x）＜0，g（x）单调递减；
∴g（x）的最大值是g（e）=$\frac{a}{e}$，
且g（x）≤$\frac{a}{e}$；
又对任意实数x₁，都存在正数x₂，使得g（x₂）=f（x₁）成立，
∴f（x）_max≤g（x）_max，
即1≤$\frac{a}{e}$，解得a≥e；
∴实数a的取值范围是[e，+∞）．

点评 本题考查了函数的最值与值域的应用问题，也考查了不等式的应用问题，是较难的题目．