Question

在平面直角坐标系xoy中，已知点B（1，0）圆A：（x+1）²+y²=16，动点P在圆A上，线段BP的垂直平分线AP相交点Q，设动点Q的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）过点D（3，0）作直线l，直线l依次交曲线C于不同两点E、F，设

DE

=λ

DF

，求实数λ的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）由已知|QP|=|QB|，所以|AQ|+|QB|=|AQ|+|QP|=|AP|=4＞|AB|，利用椭圆的定义，可求点求曲线C的方程；
（Ⅱ）分类讨论，设出直线的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，表示出λ+

1

λ

，即可求实数λ的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）由已知|QP|=|QB|，所以|AQ|+|QB|=|AQ|+|QP|=|AP|=4＞|AB|，
所以点Q的轨迹是以A，B为焦点，长轴为4的椭圆，2a=4，2c=2，
所以a=2，c=1，所以b=

3

，
所以Q点的轨迹方程为

x2

4

+

y2

3

=1；   
（Ⅱ）若直线l为y=0，则E（2，0），F（-2，0），

DE

=（-1，0），

DF

=（-5，0），
∵

DE

=λ

DF

，
∴λ=

1

5

；
若直线l：x=my+3，设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
直线代入椭圆方程得（3x²+4）y+18my+15=0，
由△＞0可得m²＞

5

3

，
由韦达定理可得y₁+y₂=-

18m

3m2+4

，y₁y₂=-

15

3m2+4

，
∵

DE

=λ

DF

，
∴λ=

y1

y2

，
∴λ+

1

λ

=

(y1+y2)2

y1y2

-2=

108m2

5(3m2+4)

-2=

26

5

-

144

15m2+20

，
∴2＜λ+

1

λ

＜

26

5

，
∴

1

5

＜λ＜1，
综上所述，实数λ的取值范围是[

1

5

，1）．

点评：本题考查椭圆的定义与标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．