【题目】(分)如图,在三棱锥中,底面为等边三角形,,,为的中点.
(Ⅰ)求证:.
(Ⅱ)判断在线段上是否存在点(与点不重合),使得为直角三角形?若存在,试找出一个点,并求的值;若不存在,说明理由.
【答案】(1)详见解析(2)当时,为直角三角形.
【解析】
试题分析:(1)根据正三角形的性质可得,根据勾股定理可得,由线面垂直证的判定定理可得平面,由线面垂直的性质可得结论;(2)在(1)基础上可知平面与平面的垂直性,所以只需过作交线的垂线,由线线垂直线面垂直,再由线面垂直线线垂直,证明直角三角形的存在性,在上述条件下分别求出,,从而求出的值即可.
试题解析:
(Ⅰ)证明:如图,连结,
∵在等边中,是的中点,且,
∴,,
∵在直角中,是斜边的中点,且,
∴,
在中,由,得,
∴,
又∵,平面,平面,
∴平面,
又∵平面,
∴.
(Ⅱ)解:线段上存在点使得为直角三角形,此时,
如图,过作于点,连结,
∵平面,
∴,
又∵,平面,平面,
∴平面,
∴,
即为直角三角形,
故当点与点重合时,为直角三角形,
在直角中,由,,,
得(即),(即),
当时,为直角三角形.
【方法点晴】本题主要考查线面垂直性质与判定、线线垂直的证明,属于难题. 证明直线和平面垂直的常用方法有:(1)利用判定定理;(2)利用判定定理的推论;(3)利用面面平行的性质;(4)利用面面垂直的性质,当两个平面垂直时,在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.本题的解答一直围绕线面垂直与线线垂直的互相转化进行.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某中学根据2002﹣2014年期间学生的兴趣爱好,分别创建了“摄影”、“棋类”、“国学”三个社团,据资料统计新生通过考核远拔进入这三个社团成功与否相互独立,2015年某新生入学,假设他通过考核选拔进入该校的“摄影”、“棋类”、“国学”三个社团的概率依次为m, ,n,已知三个社团他都能进入的概率为 ,至少进入一个社团的概率为 ,且m>n.
(1)求m与n的值;
(2)该校根据三个社团活动安排情况,对进入“摄影”社的同学增加校本选修字分1分,对进入“棋类”社的同学增加校本选修学分2分,对进入“国学”社的同学增加校本选修学分3分.求该新同学在社团方面获得校本选修课字分分数的分布列及期望.
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【题目】对任意x∈[﹣1,1],不等式﹣4≤x3+3|x﹣a|≤4恒成立,则实数a的取值范围为( )
A.[﹣ , ]
B.[﹣ , ]
C.[0, ]
D.[0,1]
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【题目】已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn , 且满足 ,S7=56.
(1)求数列{an}的通项公式an;
(2)若数列{bn}满足b1=a1且bn+1﹣bn=an+1 , 求数列 的前n项和Tn .
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【题目】已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆的焦点与顶点,若双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形,则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
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【题目】已知定点M(1,0)和直线x=﹣1上的动点N(﹣1,t),线段MN的垂直平分线交直线y=t于点R,设点R的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程;
(2)直线y=kx+b(k≠0)交x轴于点C,交曲线E于不同的两点A,B,点B关于x轴的对称点为点P.点C关于y轴的对称点为Q,求证:A,P,Q三点共线.
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【题目】对于实数a和b,定义运算“*”:a*b= 设f(x)=(2x﹣1)*(x﹣1),且关于x的方程为f(x)=m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根x1 , x2 , x3 , 则x1x2x3的取值范围是 .
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