Question

已知函数f（x）在R上是增函数，g（x）在R上是减函数．求证：函数F（x）=f（x）-g（x）在R上是增函数．

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则由于f（x）在R上是增函数，g（x）在R上是减函数，有f（x₁）＜f（x₂），g（x₁）＞g（x₂），
从而F（x₁）-F（x₂）＜0，进而F（x₁）＜F（x₂）．

解答： 解：任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
则由于f（x）在R上是增函数，g（x）在R上是减函数，
有f（x₁）＜f（x₂），g（x₁）＞g（x₂），
∴F（x₁）-F（x₂）=[f（x₁）-g（x₁）]-[f（x₂）-g（x₂）]
=[f（x₁）-f（x₂）]-[g（x₁）-g（x₂）]
＜0，
∴F（x₁）＜F（x₂）
∴函数F（x）在R上是增函数．

点评：本题考察了函数的单调性，函数的单调性的证明，是一道基础题．