Question

【题目】定义在R上的单调函数f（x）满足：f（x+y）=f（x）+f（y），若F（x）=f（asinx）+f（sinx+cos2x﹣3）在（0，π）上有零点，则a的取值范围是 ．

Answer 1

【答案】[2，+∞）
【解析】解：①令x=y=0，则f（0）=2f（0），则f（0）=0； 再令y=﹣x，则f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x）=0，
且f（x）定义域为R，关于原点对称．
∴f（x）是奇函数．
②F（x）=f（asinx）+f（sinx+cos2x﹣3）在（0，π）上有零点．
∴f（asinx）+f（sinx+cos2x﹣3）=0在（0，π）上有解；
∴f（asinx）=﹣f（sinx+cos2x﹣3）=f（﹣sinx﹣cos2x+3）在（0，π）上有解；
又∵函数f（x）是R上的单调函数，
∴asinx=﹣sinx﹣cos2x+3在（0，π）上有解．
∵x∈（0，π），
∴sinx≠0；
∴a= =sinx+ ﹣1；
令t=sinx，t∈（0，1]；
则a=t+ ﹣1；
∵y=t+ ， ＜0，因此函数y在（0，1]上单调递减，
∴a≥2．
故答案为：[2，+∞）．
①令x=y=0，则f（0）=2f（0），则f（0）=0；再令y=﹣x，f（x）+f（﹣x）=f（0）=0，可得f（x）是奇函数．
②F（x）=f（asinx）+f（sinx+cos2x﹣3）在（0，π）上有零点．f（﹣sinx﹣cos2x+3）在（0，π）上有解；根据函数f（x）是R上的单调函数，asinx=﹣sinx﹣cos2x+3在（0，π）上有解．x∈（0，π），sinx≠0；a= =sinx+ ﹣1，令t=sinx，t∈（0，1]；则a=t+ ﹣1；利用导数研究其单调性即可得出．