Question

【题目】如图，四边形为矩形，平面，，平面，且点在上．

（）求证：；

（）求三棱锥的体积；

（）设点在线段上，且满足，试在线段上确定一点，使得平面．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）当点为线段上靠近点的一个三等分.

【解析】试题分析：（1）先证明平面，得，由平面，得，从而可得平面，由此能证明；（2）在中，过点作于点，则平面，由已知及（）得，，从而可得结果；（3）过点作交于点，过点作交于点，连接，推导出平面，由此能求出当点为线段上靠近点的一个三等分点时，平面．

试题解析：（）证明：由平面，

及得平面，则，

而平面，则，

又，则平面，

又平面，故．

（）在中，过点作于点，则平面．

由已知及（）得，．

故．

（）在中过点作交于点，

在中过点作交于点，连接，

则由得，由平面 平面，

则平面，再由，得平面，

又平面，则平面，

故当点为线段上靠近点的一个三等分点时，平面．

【方法点晴】本题主要考查线面垂直的判定与性质，以及线面平行的判定定理、利用等积变换求三棱锥体积，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.