Question

已知函数f（x²-3）=log_a（a＞0，a≠1）．
（1）试判断函数f（x）的奇偶性．
（2）解不等式：f（x）≥log_a（2x）．

Answer 1

解 （1）设x²-3=t，则f（t）=log_a，
即f（x）=log_a，其定义域为（-3，3），且f（-x）=-f（x）．
∴f（x）在（-3，3）上是奇函数．…（4分）
（2）a＞1时，≥2x＞0，解得x∈（0，1）∪[，3]．…（8分）
0＜a＜1时，0＜≤2x，解得x∈[1，]．…（12分）
分析：（1）设x²-3=t，利用换元法得出f（t）=log_a，从而得出函数f（x）的解析式，可求得定义域关于原点对称，利用奇偶函数的定义可判断f（x）奇偶性；
（2）对a分0＜a＜1与a＞1两种情况讨论，再利用相对应的函数的单调性列不等式求解即可．
点评：本题考查指、对数不等式的解法、函数奇偶性的判断，考查分类讨论思想和计算能力，属于中档题．