已知点在抛物线上.点到抛物线的焦点F的距离为2. 直线与抛物线交于两点. (Ⅰ)求抛物线的方程, (Ⅱ)若以为直径的圆与轴相切.求该圆的方程, (Ⅲ)若直线与轴负半轴相交.求面积的最大值. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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（本小题满分14分）

已知点在抛物线上，点到抛物线的焦点F的距离为2，

直线与抛物线交于两点.

（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）若以为直径的圆与轴相切，求该圆的方程；

（Ⅲ）若直线与轴负半轴相交，求面积的最大值.

【解析】（Ⅰ）抛物线的准线为， ................1分

由抛物线定义和已知条件可知，

解得，故所求抛物线方程为. .............................3分

（Ⅱ）联立，消并化简整理得.

依题意应有，解得. ............................4分

设，则， ..............................5分

设圆心，则应有.

因为以为直径的圆与轴相切，得到圆半径为， ...............6分

又 .

所以， .....................7分

解得. .........................8分

所以，所以圆心为.

故所求圆的方程为. .......................9分

方法二：

联立，消掉并化简整理得，

依题意应有，解得. ........................4分

设，则 . ........................5分

设圆心，则应有，

因为以为直径的圆与轴相切，得到圆半径为. ......................6分

又，

又，所以有， ...............................7分

解得， .................8分

所以，所以圆心为.

故所求圆的方程为. ...................9分

（Ⅲ）因为直线与轴负半轴相交，所以，

又与抛物线交于两点，由（Ⅱ）知，所以，.........................10分

直线：整理得，

点到直线的距离， .................................11分

所以. .........................12分

令，，

，


＋	0	－
	极大

由上表可得最大值为 . ................................13分

所以当时，的面积取得最大值 . ..................................14分

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