Question

5．已知函数f（x）对任意实数x均有f（x）=kf（x+2），其中常数k为负数，f（x）在区间[0，2]上满足f（x）=x（x-2）．
（1）当k=-1时，求f（-1），f（2.5）的值；
（2）求f（x）在区间[-2，4]上的解析式；
（3）求f（x）在区间[-2，4]上的最大值，并求出相应的自变量的取值．

Answer 1

分析 （1）根据f（x）=-f（x+2）计算即可；
（2）利用条件分别求出f（x）在[-2，0]和[2，4]上的解析式，写成分段函数即可；
（3）利用二次函数的性质判断f（x）的单调性，求出极大值，比较两个极大值即可得出结论．

解答 解：（1）∵f（x）=-f（x+2），
∴f（-1）=-f（1）=1，
f（2.5）=-f（0.5）=$\frac{3}{4}$．
（2）设x∈[-2，0]，则x+2∈[0，2]，∴f（x+2）=x（x+2）
∴f（x）=kf（x+2）=kx（x+2），
设x∈[2，4]，则x-2∈[0，2]，∴f（x-2）=（x-2）（x-4），
∴f（x）=$\frac{1}{k}$f（x-2）=$\frac{1}{k}$（x-2）（x-4）．
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{kx（x+2），-2≤x＜0}\\{x（x-2），0≤x≤2}\\{\frac{1}{k}（x-2）（x-4），2＜x≤4}\end{array}\right.$．
（3）∵k＜0，
∴f（x）在[-2，-1]上单调递增，在[-1，0]上单调递减，在[0，1]上单调递减，
在[1，2]上单调递增，在[2，3]上单调递增，在[3，4]上单调递减，
∴f（x）在[-2，-1]上单调递增，在[-1，1]上单调递减，
在[1，3]上单调递增，在[3，4]上单调递减，
∴当x=-1时，f（x）取得极大值f（-1）=-k，
当x=3时，f（x）取得极大值f（3）=-$\frac{1}{k}$，
若-k＞-$\frac{1}{k}$，即k＜-1时，f（x）的最大值为f（-1）=-k，
若-k＜-$\frac{1}{k}$，即-1＜k＜0，f（x）的最大值为f（3）=-$\frac{1}{k}$，
若-k=-$\frac{1}{k}$，即k=-1时，f（x）的最大值为1，此时x=1或x=3．

点评 本题考查了二次函数的单调性与最值计算，属于中档题．