Question

已知某四棱锥，底面是边长为2的正方形，且俯视图如图所示．
（1）若该四棱锥的左视图为直角三角形，则它的体积为

 

；
（2）关于该四棱锥的下列结论中：
①四棱锥中至少有两组侧面互相垂直；
②四棱锥的侧面中可能存在三个直角三角形；
③四棱锥中不可能存在四组互相垂直的侧面．
所有正确结论的序号是

 

．

Answer 1

分析：（1）根据四棱锥的俯视图得到四棱锥的特征，根据四棱锥的左视图为直角三角形，得到四棱锥的高即可求出它的体积；
（2）根据四棱锥的俯视图得到侧棱之间的关系，然后分别讨论即可．

解答：解：（1）由四棱锥的俯视图可知，该四棱锥底面为ABCD为正方形，PO垂直于BC于点O，其中O为BC的中点，
若该四棱锥的左视图为直角三角形，
则△BPC为直角三角形，且为等腰直角三角形，
∵B0=1，
∴PO=BO=1，
则它的体积为

1

3

×2×2×1=

4

3

；
（2）由四棱锥的直观图可知，PO⊥面ABCD，
则PO⊥AB，PO⊥CD，
又AB⊥BC，
CD⊥BC，
∴AB⊥面PBC，CD⊥面PBC，
∴面ABC⊥面PBC，
面PCD⊥面PBC，∴①正确．
⊥⊥⊥
②由①知，侧面ABP和PCD为直角三角形，
当BP⊥PC时，△PBC为直角三角形，∴侧面可能存在三个直角三角形，∴②正确．
③若四个侧面互相垂直，则由四个侧面围成的几何体为柱体，不可能是锥体，∴③错误．
故答案为：

4

3

；①②③．

点评：本题主要考查三视图的识别和应用以及锥体的体积的计算，考查线面垂直和面面垂直的判断，考查学生的推理能力．