Question

1．已知公差不为0的等差数列{a_n}中，a₂，a₃，a₅成等比数列，a₁+a₂=1．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b_n=$\frac{1}{{a}_{n+1}{a}_{n+3}}$，n∈N^*，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用等差数列与等比数列的通项公式及其性质即可得出；
（II）b_n=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：（I）设等差数列{a_n}的公差为d≠0，
∵a₂，a₃，a₅成等比数列，∴${a}_{3}^{2}$=a₂a₅，
又a₁+a₂=1．
联立可得$\left\{\begin{array}{l}{（{a}_{1}+2d）^{2}=（{a}_{1}+d）（{a}_{1}+4d）}\\{2{a}_{1}+d=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=0}\\{d=1}\end{array}\right.$，
∴a_n=0+（n-1）×1=n-1．
（II）b_n=$\frac{1}{{a}_{n+1}{a}_{n+3}}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，
∴数列（b_n}的前n项和T_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）$+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）]$
=$\frac{1}{2}（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$
=$\frac{3}{4}$-$\frac{2n+3}{2{n}^{2}+6n+4}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．