Question

设⊙C₁，⊙C₂，…，⊙C_n是圆心在抛物线y=x²上的一系列圆，它们圆心的横坐标分别记为a₁，a₂，…，a_n，已知a₁=，a₁＞a₂＞…＞a_n＞0，若⊙C_k（k=1，2，3，…，n）都与x轴相切，且顺次两圆外切．
（1）求证：是等差数列；
（2）求a_n的表达式；
（3）求证：a₁²+a₂²+…+a_n²＜．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意知：⊙C_n：r_n=，⊙C_n-1 ；，根据两圆相外切的性质可知|C_n-1C_n|=r_n-1+r_n，根据两点间的距离公式整理可求，根据等差数列的通项公式可求进而可求a_n
（2）根据（1）可求，进而可求a_n
（3）由=，利用裂项求和及不等式的放缩法可证
解答：（1）证明：由题意知：r_n=y_n，
所以C_n-1（a_n-1，），C_n（a_n，）…（2分）
∵|C_n-1C_n|=r_n-1+r_n，
∴=…（4分）
两边平方，整理得 …（5分）
∵a_n-1＞a_n，
∴a_n-1-a_n=2a_n-1a_n…（6分）
∴…（7分）
故是以4为首项，公差为2的等差数列．…（8分）
（2）解：由（1）知，，
∴  …（10分）
（3）证明：∵…（11分）
=…（12分）
∴
=…（14分）
点评：本题主要考查了圆的外切性质的应用，利用构造等差数列求解数列的通项公式及裂项求和方法的应用．