【题目】如图,在四棱锥中,
,
,点
为棱
的中点.
(1)证明: 平面
;
(2)若,求三棱锥
的体积.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】试题分析:(1)取的中点
,连接
,根据三角形中位线定理可得
,从而可得四边形
为平行四边形,
,利用线面平行的判定定理可得
平面
;(2)由
得
,由勾股定理可得
,从而得
平面
,
到平面
的距离为
,利用三角形面积公式求出底面积,根据等积变换及棱锥的体积公式可得
.
试题解析:(1)取的中点
,连接
.
因为点为棱
的中点,
所以且
,
因为且
,
所以且
,
所以四边形为平行四边形,
所以,
因为平面
,
平面
,
所以平面
.
(2)因为,
所以.
因为,所以
,
所以,
因为,
平面
,
平面
,
所以平面
.
因为点为棱
的中点,且
,
所以点到平面
的距离为2.
.
三棱锥的体积
.
【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、利用等积变换求三棱锥体积,属于中档题. 证明线面平行的常用方法:①利用线面平行的判定定理,使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线,可利用几何体的特征,合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质,即两平面平行,在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题(1)是就是利用方法①证明的.
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【题目】已知椭圆经过点
,且两焦点与短轴的一个端点构成等腰直角三角形.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若圆的任意一条切线
与椭圆E相交于P,Q两点,试问:
是否为定值? 若是,求这个定值;若不是,说明理由.
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【题目】已知为椭圆
的右焦点,
为
上的任意一点.
(1)求的取值范围;
(2)是
上异于
的两点,若直线
与直线
的斜率之积为
,证明:
两点的横坐标之和为常数.
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【题目】已知椭圆:
的左右焦点分别为
,
,左顶点为
,点
在椭圆
上,且
的面积为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)过原点且与
轴不重合的直线交椭圆
于
,
两点,直线
分别与
轴交于点
,
,.求证:以
为直径的圆恒过交点
,
,并求出
面积的取值范围.
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【题目】某营养学家建议:高中生每天的蛋白质摄入量控制在(单位:克),脂肪的摄入量控制在
(单位:克),某学校食堂提供的伙食以食物
和食物
为主,1千克食物
含蛋白质60克,含脂肪9克,售价20元;1千克食物
含蛋白质30克,含脂肪27克,售价15元.
(1)如果某学生只吃食物,判断他的伙食是否符合营养学家的建议,并说明理由;
(2)为了花费最低且符合营养学家的建议,学生需要每天同时食用食物和食物
各多少千克?并求出最低需要花费的钱数.
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