Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知(a4-1)3+2012(a4-1)=1，(a2009-1)3+2012(a2009-1)=-1，则下列结论中正确的是（　　）

A．S₂₀₁₂=2012，a₂₀₀₉＜a₄

B．S₂₀₁₂=2012，a₂₀₀₉＞a₄

C．S₂₀₁₂=2011，a₂₀₀₉＜a₄

D．S₂₀₁₂=2011，a₂₀₀₉＞a₄

Answer 1

分析：先确定等差数列的公差d＜0，再将条件相加，结合等差数列的求和公式及等差数列的性质，即可求得结论．

解答：解：由（a₄-1）³+2012（a₄-1）=1，（a₂₀₀₉-1）³+2012（a₂₀₀₉-1）=-1
可得a₄-1＞0，-1＜a₂₀₀₉-1＜0，即a₄＞1，0＜a₂₀₀₉＜1，从而可得等差数列的公差d＜0
∴a₂₀₀₉＜a₄，
把已知的两式相加可得（a₄-1）³+2012（a₄-1）+（a₂₀₀₉-1）³+2012（a₂₀₀₉-1）=0
整理可得（a₄+a₂₀₀₉-2）•[（a₄-1）²+（a₂₀₀₉-1）²-（a₄-1）（a₂₀₀₉-1）+2012]=0
结合上面的判断可知（a₄-1）²+（a₂₀₀₉-1）²-（a₄-1）（a₂₀₀₉-1）+2012＞0
所以a₄+a₂₀₀₉=2，而s2012=

2012

2

（a₁+a₂₀₁₂）=

2012

2

（a₄+a₂₀₀₉）=2012
故选A．

点评：本题考查了等差数列的性质的运用，灵活利用等差数列的性质是解决问题的关键，属于中档题．