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(2013•山东)设等差数列{an}的前n项和为Sn,且S4=4S2,a2n=2an+1.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列{bn}的前n项和为TnTn+
an+12n
(λ为常数).令cn=b2n(n∈N)求数列{cn}的前n项和Rn
分析:(1)设出等差数列的首项和公差,由已知条件列关于首项和公差的方程组,解出首项和公差后可得数列{an}的通项公式;
(2)把{an}的通项公式代入Tn+
an+1
2n
,求出当n≥2时的通项公式,然后由cn=b2n得数列{cn}的通项公式,最后利用错位相减法求其前n项和.
解答:解:(1)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,由a2n=2an+1,取n=1,得a2=2a1+1,即a1-d+1=0①
再由S4=4S2,得4a1+
4×3d
2
=4(a1+a1+d)
,即d=2a1
联立①、②得a1=1,d=2.
所以an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1;
(2)把an=2n-1代入Tn+
an+1
2n
,得Tn+
2n
2n
,则Tn=λ-
2n
2n

所以b1=T1=λ-1,
当n≥2时,bn=Tn-Tn-1=(λ-
2n
2n
)-(λ-
2(n-1)
2n-1
)
=
n-2
2n-1

所以bn=
n-2
2n-1
cn=b2n=
2n-2
22n-1
=
n-1
4n-1

Rn=c1+c2+…+cn=0+
1
41
+
2
42
+…+
n-1
4n-1

1
4
Rn=
1
42
+
2
43
+…+
n-1
4n

③-④得:
3
4
Rn=
1
4
+
1
42
+…+
1
4n-1
-
n-1
4n
=
1
4
(1-
1
4n-1
)
1-
1
4
-
n-1
4n

所以Rn=
4
9
(1-
3n+1
4n
)

所以数列{cn}的前n项和Rn=
4
9
(1-
3n+1
4n
)
点评:本题考查了等差数列的通项公式,考查了数列的求和,训练了错位相减法,考查了学生的计算能力,属中档题.
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xy
z
取得最大值时,
2
x
+
1
y
-
2
z
的最大值为(  )

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(Ⅱ)设数列{bn}满足
b1
a1
+
b2
a2
+…+
bn
an
=1-
1
2n
,n∈N*,求{bn}的前n项和Tn

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3
2
-
3
sin2ωx-sinωxcosωx(ω>0),且y=f(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为
π
4

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(Ⅱ)求f(x)在区间[π,
2
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