Question

（2013•山东）设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₄=4S₂，a_2n=2a_n+1．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}满足

b1

a1

+

b2

a2

+…+

bn

an

=1-

1

2n

，n∈N^*，求{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，由S₄=4S₂，a_2n=2a_n+1得到关于a₁与d的方程组，解之即可求得数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a_n=2n-1，继而可求得b_n=

2n-1

2n

，n∈N^*，于是T_n=

1

2

+

3

22

+

5

23

+…+

2n-1

2n

，利用错位相减法即可求得T_n．

解答：解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，由S₄=4S₂，a_2n=2a_n+1得：

4a1+6d=8a1+4d a1+(2n-1)d=2a1+2(n-1)d+1

，
解得a₁=1，d=2．
∴a_n=2n-1，n∈N^*．
（Ⅱ）由已知

b1

a1

+

b2

a2

+…+

bn

an

=1-

1

2n

，n∈N^*，得：
当n=1时，

b1

a1

=

1

2

，
当n≥2时，

bn

an

=（1-

1

2n

）-（1-

1

2n-1

）=

1

2n

，显然，n=1时符合．
∴

bn

an

=

1

2n

，n∈N^*
由（Ⅰ）知，a_n=2n-1，n∈N^*．
∴b_n=

2n-1

2n

，n∈N^*．
又T_n=

1

2

+

3

22

+

5

23

+…+

2n-1

2n

，
∴

1

2

T_n=

1

22

+

3

23

+…+

2n-3

2n

+

2n-1

2n+1

，
两式相减得：

1

2

T_n=

1

2

+（

2

22

+

2

23

+…+

2

2n

）-

2n-1

2n+1

=

3

2

-

1

2n-1

-

2n-1

2n+1

∴T_n=3-

2n+3

2n

．

点评：本题考查数列递推式，着重考查等差数列的通项公式与数列求和，突出考查错位相减法求和，考查分析运算能力，属于中档题．