Question

16．已知sinα•cosβ=1，那么sin（α+β）等于（　　）

• A． 0
• B． -1
• C． ±1
• D． 1

Answer 1

分析 由题意结合三角函数的有界性求得sinα=1且cosβ=1；sinα=-1且cosβ=-1．分类求出α，β的值后得答案．

解答 解：由|sinα|≤1，|cosβ|≤1，且sinα•cosβ=1，
得sinα=1且cosβ=1；sinα=-1且cosβ=-1．
当sinα=1且cosβ=1时，
$α=\frac{π}{2}+2{k}_{1}π，β=2{k}_{2}π，{k}_{1}，{k}_{2}∈Z$，
则α+β=$\frac{π}{2}+2（{k}_{1}+{k}_{2}）π$，
∴sin（α+β）=1；
当sinα=-1且cosβ=-1时，
$α=\frac{3}{2}π+2{k}_{1}π，β=π+2{k}_{2}π$，k₁，k₂∈Z，
则$α+β=2（{k}_{1}+{k}_{2}+1）π+\frac{π}{2}$，
∴sin（α+β）=1．
综上，sin（α+β）=1．
故选：D．

点评 本题考查两角和与差的三角函数，考查了三角函数的有界性，是中档题．