Question

已知函数处取得极值.

   （1）求实数a的值，并判断上的单调性；

   （2）若数列满足；

   （3）在（2）的条件下，

记

求证：

Answer 1

（1）1 在上是增函数.（2）见解析（3）见解析

解析:

（1）

由题知，即a-1=0，∴a=1.

则

∵x≥0，∴≥0，≥0，又∵＞0，∴x≥0时，≥0，

∴在上是增函数.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知∴

下面用数学归纳法证明＞0.①当n=1时，=1＞0成立；

②假设当时，＞0,∵在上是增函数，

∴＞∴＞0成立，综上当时，＞0.

又∵＞0,1+＞1,∴＞0,∵＞0,

∴＜，

而=1,∴≤1，综上，0＜≤1.（3）∵0＜＜≤1，

∴＜,∴＜,∴＜,

∴＞＞0,

∴=·…＜·……  =ⁿ.

∴S_n＝++…+

＜+()²+…+()ⁿ

＝＜==1.

∴S_n＜1.